Hola JurreNawijn.
Eso te pasa porque el código interpreta que las variables numero1 y numero2 son cadenas de texto. Podrías solucionarlo de la siguiente forma:
var resultado = Number(numero1)+Number(numero2);
quedando el código así:
<script type="text/javascript">
var numero1 = prompt("Lanza el primer número"), numero2 = prompt("Lanza el segundo número"), resultado = Number(numero1)+Number(numero2);
document.write("<p>El resto de dividir el primer número entre 5: " + (numero1%5) + "</p>");
document.write("<p>El resultado de divir el primer número con el segundo: " + (numero1/numero2) + "</p>" );
document.write("<p>EL resultado de sumar los dos números: " + resultado + "</p>");
</script>
También decirte que sería bueno que te acostumbres a trabajar ordenando el código por funciones.
Saludos.