Si usas Collections será con colecciones de objetos, por ejemplo ArrayList. Para usar arreglos (arrays) simples tendrás que usar Arrays, aquí el código:
import java.util.Arrays;
import javax.swing.*;
/**
*
* @author tarea
*/
public class Programa3 {
/**
* @param args the command line arguments
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO code application logic here
int n, j, i;
n = Integer.parseInt( JOptionPane.showInputDialog("Ingrese cantidad de nombres que habrá en la lista de nombres:"));
String nombres[]=new String [n];
//Ingreso de los nombres
j=0;
String entrada = "inicio";
while (j<n && !entrada.equals("")){
entrada =JOptionPane.showInputDialog("Ingrese nombre "+(j+1)+" ; (para terminar deje vacío y pulse enter):");
nombres[j] = entrada;
j=j+1;
}
Arrays.sort(nombres);
String listado = "Lista de nombres:\n\n";
for (i=0;i<nombres.length;i++){
listado=listado+"Nombre" + (i+1) + ": "+nombres[i] +"\n";
}
JFrame frame = new JFrame("Listado");
JOptionPane.showMessageDialog(frame, listado);
}
}