ola urka, no es ninguna molestia que preguntes lo que quieras, para eso están los foros. Ahora bien, sería de agradecer que además de preguntar respondas también a personas que hagan preguntas, así colaboras. Puedes pensar que quizás no tengas conocimientos suficientes para responder, pero piensa que siempre hay gente con menos conocimientos que tú y que aquí estamos todos para ayudar y aprender, no se pide a nadie que sea un experto para responder en los foros.
En cuanto a la pregunta, lo primero que tienes que tener en cuenta es dónde incluir el envío del formulario. Como tu formulario envía a sendbymail.php es en ese archivo donde debes incluir el envío del correo electrónico (además lo normal sería que dentro de ese archivo incluyas un mensaje de confirmación de envío del formulario).
Lo primero que debes probar es que tu servidor ejecute la función mail correctamente. Hay algunos servidores que tienen establecidas restricciones sobre esta función. Para probarla basta que en el archivo de destino del formulario incluyas un código como este:
<?php
echo 'Enviando correo';
mail("elcorreodedestino@gmail.com","Aqui el asunto del correo", "Hola esto es un correo de prueba");
?>
Si esto no te funciona tienes que solucionar esto antes que nada.
El código que has puesto habría que revisarlo con calma, puede que el error lo tengas en esta línea:
@mail($email_to, $email_subject, $email_message, $headers);
Esa @ que aparece al principio puede estar generando el error.
Saludos