Hola tata, la medida del logo junto a un h1 depende del diseño que se le quiera dar a la página, no hay una regla fija. Además ten en cuenta que el tamaño del h1 lo puedes establecer mediante css, no es lo mismo: h1 {font-size: 36px;} que h1 {font-size:48px;}
Si en tu CSS no estableces nada el tamaño de h1 será el que ponga por defecto el navegador, que suele estar en torno a 24 px aunque puede variar según el navegador.
En resumen se trataría de probar tamaños de logo hasta obtener una combinación agradable a la vista.
Sobre que el logo tenga fondo blanco, será si tú quieres que tenga fondo blanco. Si quieres puedes hacer el logo en formato png, dejar el color de fondo como transparencia, y así como fondo se verá el color que tengas establecido para la web. Fíjate por ejemplo en la cabecera de la página de estos foros. A la derecha hay un logo pero es una transparencia png, de forma que se ve como fondo el verde.
Saludos