Hola!
He estado revisando tu código y funciona bien cumpliendo con la consigna del ejercicio.
Sin embargo me gustaría hacerte una observación:
En tu código has planteado un ciclo for con un condicional if else para resolverlo, escapando con un break cuando se dá con el mes elegido.
Creo que hubiera sido más acertado y elegante no utilizar un for con un if else en este caso, y utilizar más bien un ciclo while. 
Por regla general se debe evitar el uso de escapes con break (salvo que sea necesario). 
A continuación te planteo el mismo ejercicio resuleto con un while para que lo analices.
package ejercicioscu00669b;
public class EjerciciosCu00669B {
    public static void main(String[] args) {
        String[] meses = {"enero", "febrero", "marzo", "abril", "mayo", "junio", "julio",
            "agosto", "setiembre", "octubre", "noviembre", "diciembre"};
        String mes;
        String mesSecreto = meses[9];
        EntradaDeTeclado entrada = new EntradaDeTeclado();
        System.out.println("Adivine el mes secreto. Introduzca el nombre del mes en minúsculas:");
        mes = entrada.agregarMes();
 
        while (!mes.equals(mesSecreto)){
            System.out.print("No ha acertado. Intente adivinarlo introduciendo otro mes: ");
            mes = entrada.agregarMes();
        }
        System.out.println("¡Ha acertado!");
    }
    
}