Hice alguna modificación en tu código para guiarte un poco y hacer comparación.
package aprender2;
import java.util.Scanner;
public class Aprender2 {
private static Scanner resp;
public static void main(String[] args) {
String[] mes = {"enero", "febrero", "marzo", "abril", "mayo", "junio", "julio", "agosto", "septiembre", "octubre", "noviembre", "diciembre"};
String mesSecreto = mes[8];
resp = new Scanner(System.in);
String dato;
System.out.println("Adivine el mes secreto\nIntroduzca un mes para ver si lo adivina");
dato = resp.nextLine();
while (!dato.equals(mesSecreto)) {
System.out.print("No ha acertado. Intente adivinarlo introduciendo otro mes: ");
dato = resp.nextLine();
}
System.out.println("¡Ha acertado!");
}
}
habrá otra forma de hacer ojala que te sirva.