No, persona1.nombre no te devuelve el atributo nombre a no ser que declares el atributo como public en vez de como private. Los atributos en java normalmente se declaran como private para evitar que se pueda tener acceso a ellos usando la notación que tú indicas. Al declarar el atributo como private, se puede evitar dar acceso al atributo excepto si el programador así lo quiere introduciendo un método get. Pero es posible que no quiera darle acceso, en ese caso no hay método get y no se puede acceder al atributo.
Podrías preguntarte: ¿por qué no declarar los atributos como públicos y así me ahorro tener que introducir métodos get? Tener acceso público a los atributos se considera una mala práctica de programación por introducir posibilidades de manipulación y efectos colaterales fuera del control "certero" del programa, por eso no se recomienda (y no se hace excepto que se sepa muy bien lo que se está haciendo). Saludos.