Hola este es mi codigo, me cuesta mucho entender los patrones pero ayudandome de los demas se pide lo que quiere, gracias.
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<title>validacion Regex</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8">
<style type="text/css">
	*{margin: 0; padding: 0;}
	form{width: 500px;}
	label, input, button {
	display:  block; padding: 5px; width: 100%; margin: 5px auto;}
	span{display: none; color: red; background-color: lightyellow;}
</style>
<script type="text/javascript">
		function validar(){
			var patronNombre = new RegExp("[a-zA-Z]{3,}");
			var patronCorreo = /\w+@{1}\w+\.{1}\w+/
			var nodosInput = document.getElementsByTagName("input");
			var enviar = true;
			var msg = document.getElementsByTagName("span");
			
			var nombre = nodosInput[0].value;
			if (!patronNombre.test(nombre)) {
				msg[0].textContent = "El nombre no cumple con tener al menos 3 letras";
				msg[0].style.display = "block";
				enviar = false;
			}
			else {
				msg[0].style.display = "none";
			}
			var patronAT = /\sat\s/g;
				nodosInput[2].value = nodosInput[2].value.replace(patronAT, '@');
			
			if (!patronCorreo.test(nodosInput[2].value)) {
				msg[2].textContent = "El formato de correo es incorrecto falta @ ó .";
				msg[2].style.display = "block";
				enviar = false;
			}
			else {
				msg[2].style.display = "none";
			}
				nodosInput[2].value = nodosInput[2].value.toLowerCase();
			
				return enviar;
		}
		
	</script>
<body>
</head>
	<div>
		<form method="GET" action="#" name="miformulario" onsubmit="return validar()" >
			<label for="nombre">Nombre:</label>
			<input type="text" name="nombre" id="nombre" placeholder="Introducir Nombre" />
			<span class="msg"></span>
			<label for="apellidos">Apellidos:</label>
			<input type="text" name="apellidos" id="apellidos" placeholder="Introducir Apellidos" />
			<span class="msg"></span>			
			<label for="correo">Correo Electrónico:</label>
			<input type="text" name="email" id="correo" placeholder="Introducir Correo Electrónico" />
			<span class="msg"></span>
			<button name="enviar" value="enviar" type="submit">Enviar</button>
		</form>
	</div>
</body>
</html>