Hola buscar el dni no parece demasiado complicado, tendrías que recorrer todos los elementos de la columna dni comparando el dni que tienes el textbox con el dni que tienes en el datagridview. Esto se haría con el evento click sobre el botón buscar.
Una vez encontrado el dato, podrías copiar toda la columna y mostrarla en un label.
Lo de hacer que vayan desapareciendo los datos parece un poco más complicado. Aquí tendrías que hacerlo como respuesta al evento change del textbox. Para cada evento change tendrías que recorrer la columna correspondiente del datagrid view y ocultar todos los datos que no coincidan, en este caso tendrías que comparar la subcadena del datagridview con la cadena que exista en el textbox, por ejemplo si en el textbox aparece Ant esto tiene longitud 3 caracteres, tendrías que comparar con los primeros tres caracteres de todos los datos en el datagridview. Esto no estoy muy seguro de si funcionará bien, sobre todo si el datagridview tiene muchos datos, porque el pc se puede volver un poco loco si tiene que estar redibujando con cientos de datos cada vez que escribas una letra.
Salu2!